FÍSICA GRACELI TENSORIAL QUÂNTICA.

equação Graceli  quântica []  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

 

equação Graceli  tensorial quântica [1] G  [DR] =            .=  =

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

 

    G  [DR] =             =

 G  [DR] =          =

EQUAÇÃO QUÂNTICA TENSORIAL GRACELI.

  G  [DR] =            .= 

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

     G  [DR] =             =

 G  [DR] =         =

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

    ] ω  , ,   =

vezes chamado de tensor de Faraday ou bivector de Maxwell) é um objeto matemático que descreve o campo eletromagnético de um sistema físico. O tensor de campo foi usado pela primeira vez após a formulação do tensor quadridimensional da relatividade especial e foi introduzido por Hermann Minkowski. O tensor permite que algumas leis físicas possam ser escritas de uma forma muito concisa.

Definição[editar | editar código-fonte]

O tensor electromagnético, convencionalmente marcado F, é definido como a derivada exterior do quadripotencial eletromagnético, A, um diferencial de forma 1:^[1][2]

${\displaystyle �\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\mathrm{d}�.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

O tensor tensão de Cauchy na mecânica do contínuo, representado universalmente pelo símbolo ${\displaystyle \mathit{�}}$, também chamado tensor tensão verdadeira^[1] ou simplesmente tensor tensão, denominado em memória de Augustin-Louis Cauchy, é um tensor tridimensional de segunda ordem, com nove componentes ${\displaystyle {�}_{��}}$, que define completamente o estado de tensão em um ponto no domínio de um corpo material em sua configuração deformada. O tensor relaciona um vetor diretor de comprimento unitário n com o vetor tensão T⁽ⁿ⁾ sobre uma superfície imaginária perpendicular a n,

${\displaystyle {\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}=\mathbf{�}\cdot \mathit{�}\text{ou}{�}_{�}^{(�)}={�}_{��}{�}_{�}.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Para os eixos coordenados da Figura 1, usando notação indicial,

O tensor tensão de Cauchy obedece a lei de transformação de tensores sobre uma mudança de sistema de coordenadas. Uma representação gráfica desta lei de transformação é o círculo de Mohr para tensões.

O tensor tensão de Cauchy é usado para a análise de tensões de corpos materiais submetidos a pequenas deformações. É um conceito central da teoria da elasticidade linear. Para grandes deformações, também denominado teoria das deformações finitas, outras medidas de tensão são necessárias, tais como o tensor tensão de Piola-Kirchhoff, o tensor tensão de Biot e o tensor tensão de Kirchhoff.

De acordo com o princípio da conservação do momento linear, se o corpo contínuo está em equilíbrio estático pode ser demonstrado que as componentes do tensor tensão de Cauchy em todo ponto material do corpo satisfaz as equações de equilíbrio (equações de movimento de Cauchy para aceleração nula). Ao mesmo tempo, de acordo com o princípio da conservação do momento angular, o equilíbrio requer que a soma dos momentos em relação a um ponto arbitrário seja nula, o que leva à conclusão de que o tensor tensão é simétrico, havendo assim somente seis componentes independentes de tensão, ao invés das nove originais.

Há alguns invariantes associados ao tensor tensão, cujos valores não dependem do sistema de coordenadas usado, ou da área do elemento sobre a qual o tensor tensão atua. Estes são os três autovalores do tensor tensão, que são denominados tensões principais.

Princípio da tensão de Euler-Cauchy - o vetor tensão[editar | editar código-fonte]

Figura 2.1a: Distribuição interna de forças e momentos sobre um diferencial ${\displaystyle ��}$ da superfície interna ${\displaystyle �}$ em um contínuo, como resultado da interação entre as duas porções do contínuo separadas pela superfície

Figura 2.1b: Distribuição interna de forças e momentos sobre um diferencial ${\displaystyle ��}$ da superfície interna ${\displaystyle �}$ em um contínuo, como resultado da interação entre as duas porções do contínuo separadas pela superfície

Figura 2.1c: Vetor tensão sobre uma superfície interna S com vetor normal n. Dependendo da orientação do plano em consideração, o vetor tensão pode não necessariamente ser perpendicular ao plano, i.e. paralelo a ${\displaystyle \mathbf{�}}$, e pode ser decomposto em duas componentes: uma componente normal ao plano , chamada tensão normal ${\displaystyle {�}_{\mathrm{n}}}$, e outra componente paralela a este plano, chamada tensão cisalhante ${\displaystyle �}$.

O princípio da tensão de Euler–Cauchy estabelece que sobre qualquer superfície (real ou imaginária) que divide o corpo, a ação de uma parte do corpo sobre a outra é equivalente ao sistema de forças e momentos distribuídos sobre a superfície dividindo o corpo,^[2] sendo representada por um campo ${\displaystyle {\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}}$, denominado vetor tensão, definido sobre a superfície ${\displaystyle �}$ e assumido depender continuamente do vetor unitário à superfície ${\displaystyle \mathbf{�}}$.^{[3][4]:p.66–96}

Para formular o princípio de tensão de Euler-Cauchy, considere uma superfície imaginária ${\displaystyle �}$ passando através de um ponto interno do material ${\displaystyle �}$ dividindo o corpo contínuo em 2 segmentos, como visto nas Figuras 2.1a ou 2.1b (pode-se usar quer o diagrama do plano de corte ou o diagrama com o volume arbitrário dentro do contínuo fechado pela superfície ${\displaystyle �}$).

Segundo a dinâmica clássica de Newton e Euler, o movimento de um corpo material é produzido pela ação de forças aplicadas externamente, as quais são assumidas como sendo de dois tipos: forças de superfície ${\displaystyle \mathbf{�}}$ e forças de corpo ${\displaystyle \mathbf{�}}$.^[5] Deste modo, a força total ${\displaystyle \mathcal{�}}$ aplicada a um corpo ou a uma parte do corpo pode ser expressa como

${\displaystyle \mathcal{�}=\mathbf{�}+\mathbf{�}.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Somente as forças de superfície serão discutidas neste artigo em que sejam relevantes para o tensor tensão de Cauchy.

Quando o corpo é submetido a forças de superfície externas ou forças de contato ${\displaystyle \mathbf{�}}$, segundo as equações do movimento de Euler, as forças de contato internas e os momentos são transmitidos de um ponto a outro no corpo, e de um segmento para o outro através da superfície de separação ${\displaystyle �}$, devido ao contato mecânico de uma parte do contínuo para a outra (Figura 2.1a e 2.1b). Em um elemento de área ${\displaystyle \mathrm{\Delta }�}$ contendo ${\displaystyle �}$, com o vetor normal ${\displaystyle \mathbf{�}}$, a força de distribuição é equipolente à força de contato ${\displaystyle \mathrm{\Delta }\mathbf{�}}$ e ao momento de superfície ${\displaystyle \mathrm{\Delta }\mathbf{�}}$. Em particular, a força de contato é dada por

${\displaystyle \mathrm{\Delta }\mathbf{�}={\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}\mathrm{\Delta }�,}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

sendo ${\displaystyle {\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}}$ a tração superficial média.

O princípio da tensão de Cauchy assegura^{[6]:p.47–102} que como ${\displaystyle \mathrm{\Delta }�}$ torna-se muito pequeno e tende a zero, a taxa ${\displaystyle \mathrm{\Delta }\mathbf{�}/\mathrm{\Delta }�}$ torna-se ${\displaystyle �\mathbf{�}/��}$ e o par de tensores de momento ${\displaystyle \mathrm{\Delta }\mathbf{�}}$ desaparece. Em campos específicos da mecânica dos meios contínuos, o par de momento é assumido não desaparecer; no entanto, ramos clássicos da mecânica dos meios contínuos abordam materiais não polares que não consideram pares de momento e momentos de corpo.

O vetor resultante ${\displaystyle �\mathbf{�}/��}$ é definido como a superfície de tração,^[7] também chamado vetor tensão,^[8] tração,^[4] ou vetor tração.^[6] dado por ${\displaystyle {\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}={�}_{�}^{(\mathbf{�})}{\mathbf{�}}_{�}}$ no ponto ${\displaystyle �}$ associado a um plano com o vetor normal ${\displaystyle \mathbf{�}}$

${\displaystyle {�}_{�}^{(\mathbf{�})}=\underset{\mathrm{\Delta }�\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }{�}_{�}}{\mathrm{\Delta }�}=\frac{�{�}_{�}}{��}.}$ 

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Esta equação significa que o vetor tensão depende de sua localização no corpo e da orientação do plano sobre o qual ele atua.

Isto implica que a ação balanceadora das forças internas de contato gera uma densidade de forças de contato ou campo de trações de Cauchy^[5] ${\displaystyle \mathbf{�}(\mathbf{�},\mathbf{�},�)}$ que representa a distribuição das forças internas de contato através do volume em uma particular configuração do corpo em um dado tempo ${\displaystyle �}$. Este não é um campo vetorial porque o mesmo depende não apenas da posição ${\displaystyle \mathbf{�}}$ de um ponto material particular, mas também da orientação local do elemento de superfície como definido por seu vetor normal ${\displaystyle \mathbf{�}}$.^[9]

Dependendo da orientação do plano sob consideração, o vetor tensão pode não ser necessariamente perpendicular àquele plano, i.e. paralelo a ${\displaystyle \mathbf{�}}$, e pode ser decomposto em duas componentes (Figura 2.1c):

• uma normal ao plano, chamada tensão normal

${\displaystyle {�}_{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{\Delta }�\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }{�}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{\Delta }�}=\frac{�{�}_{\mathrm{n}}}{��},}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde ${\displaystyle �{�}_{\mathrm{n}}}$ é a componente normal da força ${\displaystyle �\mathbf{�}}$ na área diferencial ${\displaystyle ��}$

• e a outra paralela a este plano, chamada tensão cisalhante

${\displaystyle �=\underset{\mathrm{\Delta }�\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }{�}_{\mathrm{s}}}{\mathrm{\Delta }�}=\frac{�{�}_{\mathrm{s}}}{��},}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde ${\displaystyle �{�}_{\mathrm{s}}}$ é a componente tangencial da força ${\displaystyle �\mathbf{�}}$ na área diferencial ${\displaystyle ��}$. A tensão cisalhante pode ser ainda decomposta em duas componentes mutuamente perpendiculares.

Postulado de Cauchy[editar | editar código-fonte]

De acordo com o Postulado de Cauchy, o vetor tensão ${\displaystyle {\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}}$ permanece inalterado para todas as superfícies passando através do ponto ${\displaystyle �}$ e tendo o mesmo vetor normal ${\displaystyle \mathbf{�}}$ em ${\displaystyle �}$,^[7][10] i.e., tendo uma tangente comum em ${\displaystyle �}$. Isto significa que o vetor tensão é uma função apenas do vetor normal ${\displaystyle \mathbf{�}}$, não sendo influenciado pela curvatura das superfícies internas.

Lema fundamental de Cauchy[editar | editar código-fonte]

Uma consequência do postulado de Cauchy é o Lema Fundamental de Cauchy,^[7][1][11] também chamado de teorema recíproco de Cauchy,^{[12]:p.103–130} estabelecendo que o vetor tensão agindo sobre lados opostos da mesma superfície são iguais em magnitude e opostos em sentido. O lema fundamental de Cauchy é equivalente à Terceira Lei de Newton, expressa por

${\displaystyle -{\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}={\mathbf{�}}^{(-\mathbf{�})}.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Teorema da tensão de Cauchy—tensor tensão[editar | editar código-fonte]

O estado de tensões em um ponto do corpo é definido por todas as componentes do vetor tensão T⁽ⁿ⁾ associadas com todos os planos (infinitos em número) que passam através daquele ponto.^[13] Contudo, de acordo com o teorema fundamental de Cauchy,^[11] também chamado teorema da tensão de Cauchy,^[1] conhecendo apenas os vetores tensão sobre três planos mutuamente perpendiculares, o vetor tensão sobre qualquer outro plano passando através daquele ponto pode ser determinado através das equações de transformação de coordenadas.

O teorema da tensão de Cauchy estabelece que existe um campo tensorial de segunda ordem σ(x, t), denominado tensor tensão de Cauchy, independente de n, tal que T é um funcional linear de n

${\displaystyle {\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}=\mathbf{�}\cdot \mathit{�}\text{ou}{�}_{�}^{(�)}={�}_{��}{�}_{�}.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Esta equação implica que o vetor tensão T⁽ⁿ⁾ em qualquer ponto P em um contínuo associado com um plano com vetor unitário normal n pode ser expresso como uma função do vetor tensão sobre os planos perpendiculares aos eixos coordenados, i.e. em termos das componentes σ_ij do tensor tensão σ.

Para provar esta expressão, considere um tetraedro com três faces orientadas nos planos coordenados, e com uma área infinitesimal dA orientada em um sentido arbitrário especificado por um vetor unitário normal n (Figura 2.2). O tetraedro é formado cortando o elemento infinitesimal ao longo de um plano arbitrário n. O vetor tensão sobre este plano é denotado por T⁽ⁿ⁾. Os vetores tensão agindo sobre as faces do tetraedro são denotados por T^(e₁), T^(e₂) e T^(e₃), sendo por definição as componentes σ_ij do tensor tensão σ. Este tetraedro é também denominado tetraedro de Cauchy. O equilíbrio de forças, i.e. primeira lei do movimento de Euler (segunda lei do movimento de Newton), fornece

${\displaystyle {\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}��-{\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_1)}�{�}_1-{\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_2)}�{�}_2-{\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_3)}�{�}_3=�\left(\frac{ℎ}{3}��\right)\mathbf{�},}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Figura 2.2: Vetor tensão atuando sobre um plano com vetor unitário normal n.
Nota sobre a convenção de sinais: O tetraedro é formado cortando um paralelepípedo ao longo de um plano arbitrário n. Assim, a força atuando sobre o plano n é a reação exercida pela outra metade do paralelepípedo e tem o sinal oposto.

onde o lado direito representa a massa do tetraedro multiplicada por sua aceleração: ρ é a densidade, a a aceleração e h a altura do tetraedro, considerando o plano n como base. As áreas das faces do tetraedro perpendiculares aos eixos podem ser determinadas por projeção de dA sobre cada face (usando o produto escalar)

${\displaystyle �{�}_1=\left(\mathbf{�}\cdot {\mathbf{�}}_1\right)��={�}_1��,}$

${\displaystyle �{�}_2=\left(\mathbf{�}\cdot {\mathbf{�}}_2\right)��={�}_2��,}$

${\displaystyle �{�}_3=\left(\mathbf{�}\cdot {\mathbf{�}}_3\right)��={�}_3��,}$

e então substituindo na equação e cancelando dA por divisão

${\displaystyle {\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}-{\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_1)}{�}_1-{\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_2)}{�}_2-{\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_3)}{�}_3=�\left(\frac{ℎ}{3}\right)\mathbf{�}.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Para considerar o caso limite quando o tetraedro reduz-se a um ponto, h deve convergir a zero (intuitivamente, o plano n é transladado o longo de n para O). Como resultado, o lado direito da equação converge para 0, e assim

${\displaystyle {\mathbf{�}}^{(\mathbf{�})}={\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_1)}{�}_1+{\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_2)}{�}_2+{\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_3)}{�}_3.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Assumindo um elemento material (Figura 2.3) com planos perpendiculares aos eixos coordenados de um sistema de coordenadas cartesianas, o vetor tensão associado a cada um dos planos, i.e. T^(e₁), T^(e₂) e T^(e₃) pode ser decomposto em uma componente normal e duas componentes cisalhantes, i.e. componentes nas direções dos três eixos coordenados. Para o caso particular de uma superfície com vetor unitário normal orientado na direção do eixo x₁, denotando a tensão normal por σ₁₁ e as duas tensões cisalhantes como σ₁₂ e σ₁₃, resulta

${\displaystyle {\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_1)}={�}_1^{({\mathbf{�}}_1)}{\mathbf{�}}_1+{�}_2^{({\mathbf{�}}_1)}{\mathbf{�}}_2+{�}_3^{({\mathbf{�}}_1)}{\mathbf{�}}_3={�}_{11}{\mathbf{�}}_1+{�}_{12}{\mathbf{�}}_2+{�}_{13}{\mathbf{�}}_3,}$

${\displaystyle {\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_2)}={�}_1^{({\mathbf{�}}_2)}{\mathbf{�}}_1+{�}_2^{({\mathbf{�}}_2)}{\mathbf{�}}_2+{�}_3^{({\mathbf{�}}_2)}{\mathbf{�}}_3={�}_{21}{\mathbf{�}}_1+{�}_{22}{\mathbf{�}}_2+{�}_{23}{\mathbf{�}}_3,}$

${\displaystyle {\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_3)}={�}_1^{({\mathbf{�}}_3)}{\mathbf{�}}_1+{�}_2^{({\mathbf{�}}_3)}{\mathbf{�}}_2+{�}_3^{({\mathbf{�}}_3)}{\mathbf{�}}_3={�}_{31}{\mathbf{�}}_1+{�}_{32}{\mathbf{�}}_2+{�}_{33}{\mathbf{�}}_3.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Em notação indicial estas equações são expressas por

${\displaystyle {\mathbf{�}}^{({\mathbf{�}}_{�})}={�}_{�}^{({\mathbf{�}}_{�})}{\mathbf{�}}_{�}={�}_{��}{\mathbf{�}}_{�}.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

As nove componentes σ_ij do tensor tensão são componentes de um tensor cartesiano de segunda ordem denominado tensor tensão de Cauchy, que define completamente o estado de tensões em um ponto, dado por

sendo σ₁₁, σ₂₂ e σ₃₃ as tensões normais, e σ₁₂, σ₁₃, σ₂₁, σ₂₃, σ₃₁ e σ₃₂ as tensões cisalhantes. O primeiro índice i indica que a tensão atua sobre um plano normal ao eixo x_i, e o segundo índice j denota a direção na qual a tensão atua. Uma componente de tensão é positiva se age no sentido positivo do eixo coordenado, e se o plano sobre o qual ela atua tem um vetor normal externo apontando no sentido da coordenada.

Assim, usando as componentes do tensor tensão

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

ou, equivalentemente,

${\displaystyle {�}_{�}^{(\mathbf{�})}={�}_{��}{�}_{�}.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Alternativamente, em forma matricial

A representação do tensor tensão de Cauchy usando a notação de Voigt é vantajosa em vista da simetria do tensor tensão, expressando a tensão como um vetor de seis componentes na forma

A notação de Voigt é usada extensivamente na representação da relação tensão-deformação em mecânica dos sólidos e para a eficiência computacional em programas de mecânica estrutural numérica.

Regra de transformação do tensor tensão[editar | editar código-fonte]

Pode ser demonstrado que o tensor tensão é um tensor de segunda ordem contravariante, o que significa uma constatação de como o mesmo é transformado sob uma mudança do sistema de coordenadas. De um sistema x_i a um sistema x_i' , as componentes σ_ij no sistema inicial são transformadas nas componentes σ_ij' no novo sistema de acordo com a regra de transformação de tensores (Figura 2.4):

${\displaystyle {�}_{��}^{\prime }={�}_{��}{�}_{��}{�}_{��}\text{ou}{\mathit{�}}^{\prime }=\mathbf{�}\mathit{�}{\mathbf{�}}^{�},}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2] G  [DR] =            .=   / / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =